26 de noviembre de 2015

De expresión mixta a fracción (y viceversa)

Al trabajar con fracciones los estudiantes cometen muchos errores, que la mayoría de las veces tienen origen en la ausencia de sentido. La transformación de “número mixto” a fracción (o viceversa) es un ejemplo claro de ello. Démosle una mirada a la manera en que se presenta tradicionalmente esta noción en los libros de texto y otros materiales educativos:


Tú como profe se los explicas, ellos lo repiten y lo encuentran sencillísimo, pero ¿qué pasa luego de unos días?:

-  Profe, ¿qué es lo que hay que hacer primero, sumar o multiplicar? 
- Profe, ¿y qué le pongo al denominador? 
- ¿El resto de la división dónde va? ¿en el numerador o el denominador? 

Nosotros les respondemos pacientemente una y otra vez, y una y otra vez ellos volverán a preguntar… ¡¡Porque no entienden nada de lo que están haciendo!! Simplemente repiten pasos de un algoritmo prefabricado, carente de significado, imposible de reconstruir usando el sentido común.

¿Cómo enseñarlo entonces?



Redirigiendo esa paciencia infinita que tenemos hacia algo más provechoso. Partiendo desde el principio, desde la comprensión, dándoles su tiempo, dejándolos re-inventar los algoritmos… 

La cosa es que los estudiantes comprendan claramente lo que están haciendo, y para eso debemos partir de números pequeños, fácilmente representables. Les ponemos un "tres enteros y dos quintos”, analizamos su significado y nos preguntamos como se podría expresar eso en una sola fracción. Recordamos cómo expresar enteros como una fracción, vamos representando de uno en uno hasta llegar a los tres, luego le agregamos los dos quintos que lo acompañan y ¡Voilà! 3 enteros y 2 quintos es otra manera de expresar una misma cosa: 17 quintos.

El profesor de cursos superiores ya estará reclamando por la técnica un tanto lenta: "Y cuando sean 14 enteros y 3 décimos, ¿lo dejo la clase entera transformando entero por entero?” Pues claro que no. A esa altura, si es que hemos hecho bien las cosas, el estudiante ya habrá captado la técnica “corta”, pero sin que nadie se la haya dado prefabricada… 

Una posible secuencia:
1. Representar números mixtos y fracciones impropias (por separado) hasta el hartazgo: recta numérica, polígonos, círculos, objetos tridimensionales.

2. Realizar transformaciones de expresiones mixtas a fraccionarias (y viceversa) usando números fácilmente representables (como el de la imagen) entero por entero.

3. Ir aumentando el valor de los números poco a poco… 3 enteros, luego 4, 5, 7, 12, 17… 32. Les aseguro que en algún momento la flojera inherente al alumno (y al ser humano en general) emergerá: 

- Profe, ¿cómo voy a escribir toooooodo eso? ¡es demasiado! 
- (y aquí es cuando el profe dirá, maléficamente): ¿Y si no lo escribes, entonces cómo lo harás? 

Y ¡¡Voilà otra vez!! Usted sonreirá internamente, lleno de satisfacción, cuando se dé cuenta de que el alumno ya DESCUBRIÓ la técnica corta: ¡¡obvio que multiplicando, po!! 


Le ASEGURO que de esta forma el estudiante nunca olvidará “los pasos”. 
Simplemente porque él mismo los inventó.

*(Por cierto, lo mixto no es el número sino la expresión).


23 de noviembre de 2015

Los 6 principios de la Enseñanza Matemática Realista

La Educación Matemática Realista (EMR) es una corriente didáctica fundada en los años 60’s por el holandés Hans Freudenthal, férreo opositor de los test estructurados, la investigación educativa estandarizada y el estructuralismo en la enseñanza. 

Freudenthal parte de la premisa básica de la necesidad de conexión entre la matemática escolar y el mundo real y cotidiano de los estudiantes, considerando a la matemática como una actividad estructurante y organizadora de la realidad que está al alcance de todos los seres humanos… La matemática no es un producto, sino una actividad, una manera particular de organizar y comprender lo que nos rodea. 


De acuerdo a esto, la EMR advierte que las escuelas están profundamente equivocadas al concentrar sus esfuerzos en la transmisión de procedimientos acabados (matemática como producto): “Las cosas están al revés si se parte de enseñar el resultado de una actividad más que de enseñar la actividad misma” (Freudenthal, 1993)

1. Principio de actividad
Hacer matemática (matematizar) es más importante que aprenderla como un producto acabado. De acuerdo a esto, la importancia no está en aprender álgebra sino en algebrizar, no en aprender algoritmos sino en el proceso de algoritmización, no en las abstracciones, sino en la acción de abstraer (Bressan, Zolkower & Gallego, 2004).

2. Principio de realidad
Si la matemática se entiende como una actividad de organización de la realidad, entonces lo coherente es enseñarla estrechamente ligada a ella. Pero realidad aquí no es entendida simplemente como lo tangible y cotidiano, sino como todo aquello que es razonable, realizable o susceptible de ser imaginado (la expresión holandesa zich realis-eren se traduce como “imaginar”), en definitiva: lo que el sentido común dice que es posible en un cierto escenario.

Una matemática bajo este principio debe ser aprendida a través de situaciones cercanas o imaginables, problemáticas y desafiantes, que interpelen la necesidad organizadora de quien se enfrenta ella, que activen mecanismos de esquematización y estructuración propias del proceso de matematización.


3. Principio de reinvención

La escuela debe proveer instancias en las que el estudiante pueda re-inventar la matemática que se quiere aprenda. Las nociones deben ser construidas por el estudiante, jamás dadas por el profesor, y esta construcción debe darse en un contexto que demande el aprendizaje que se quiere lograr como método de resolución para el problema propuesto. No se trata aquí de entregar problemas de aplicación de una noción matemática ya estudiada de antemano, sino de iniciar el aprendizaje a través de una situación problemática que lo requiera y a través de la cual se consiga.

4. Principio de niveles 

La matematización es progresiva, nace totalmente ligada al contexto que la requiere, a partir del cual se esquematiza, se abstrae, se sale de la situación misma, se generaliza, se formaliza… todo progresivamente, paso a paso en esos distintos niveles de comprensión.

5. Principio de interacción
La matemática como actividad humana es una actividad intrínsecamente social. El compartir procesos de matematización diferentes, enriquecerá la capacidad organizadora de todos. Una clase en el contexto de la EMR debería contener estos espacios de interacción:
  1. Presentar un problema desafiante a resolver en grupos 
  2. Una vez resuelto, presentar en la pizarra las distintas estrategias de resolución usadas por los grupos de trabajo, partiendo de aquellas más concretas (más ligadas a la situación misma) hasta las más abstractas. 
  3. Analizar las ventajas y desventajas de cada estrategia, los errores cometidos y las formas de evitarlos. 
  4. Intencionar el uso de esquematizaciones, modelos, nociones. 
6. Principio de interconexión
Los contextos realmente-realistas la mayoría de las veces pueden y/o deben ser abordados por una gran cantidad de herramientas o nociones matemáticas de diferentes ejes curriculares. En la EMR, por tanto, no existe diferenciación entre los ejes curriculares, sino un afán de conexión entre ellos.

“La didáctica realista invita a reemplazar la visión del alumno como receptor pasivo de una matemática prefabricada, por la de un sujeto que participa, junto con otros, en la organización matemática de los fenómenos imaginables” (Bressan, Zolkower & Gallego, 2004).

Referencias:

  • Freudenthal, H. (1993). Didactical phenomenology of mathematical structures. Dordrecht: Kluwer.
  • Bressan, Zolkower & Gallego. (2004). La educación matemática realista. Principios en que se sustenta, Grupo Patagónico de Didáctica de la Matemática. 



17 de noviembre de 2015

Aprender a sumar enteros usando fichas de colores

La enseñanza tradicional de la adición de números enteros (y luego del resto de las operaciones en el conjunto) siempre es escenario de dificultades, normalmente asociadas a la ausencia de sentido. Una enseñanza basada en la memorización y mecanización de reglas que no se comprenden, tarde o temprano llevará al estudiante al error. 

Existen muchos modelos para la enseñanza de las operaciones con números negativos: fichas bicolor, deudas y haberes, ascensos y descensos, cargas eléctricas, ascensor, termómetro, avances y retrocesos, etc., todos con sus virtudes y defectos, ninguno infalible ni completo. El tino y la posición crítica del profesor siempre debe primar en la decisión de hasta dónde se lleva el modelo adoptado. En lo que respecta a esta entrada, nos preocuparemos del modelo concreto de fichas bicolor en el caso de la adición. 


¿Qué son las fichas bicolor?

Como el nombre lo dice: fichas de dos colores, donde un color representa la unidad positiva y el otro la unidad negativa. Cuando una unidad positiva se junta con una unidad negativa, se anulan mutuamente. Estas simples consideraciones nos permitirán trabajar en todos los posibles casos de adición y sustracción de números enteros.

Demás está decir que los colores y formas de las fichas no tienen ninguna importancia (pueden ser varitas rojas y negras, cuadrados verdes y azules, palos de helado pintados y sin pintar). Nosotros usamos las fichas circulares reversibles rojo-amarillo más que nada porque ya estaban en la escuela (se usan como material didáctico para realizar combinaciones aditivas en 1º básico). 

¿Cómo sumar enteros usando las fichas?
 En este mini video les explico el funcionamiento básico de las fichas bicolor en la adición de números enteros y más abajo les propongo una secuencia didáctica para sacarle el máximo provecho: 


video



Clase 1:
Les explicamos a nuestros estudiantes el funcionamiento básico de las fichas y los animamos a que las usen para resolver una serie de adiciones, como por ejemplo las que aparecen en la imagen.  

A medida que van resolviendo, los estudiantes irán levantando algunas hipótesis: “siempre que sumas dos negativos da negativo, pero no siempre es así cuando se suman números de distinto signo”, “cuando a un número le sumas su opuesto siempre da cero”, “no es lo mismo sumar (-2)+ 3 que 2 + (-3)”, etc. Lo importante aquí es no apresurarse a institucionalizar nada, en esta clase hay que simplemente dejarlos ser. 


Clase 2:
En la segunda clase se la vamos a ir poniendo un poquito más difícil. Haremos una serie parecida a la anterior, pero esta vez los valores absolutos de los números implicados irán aumentando, aumentando y aumentando, hasta que… ¡ya no alcancen las fichas! (o simplemente les dé flojera poner tanta ficha en la mesa, que es lo que normalmente pasa). Acá esas hipótesis de las que hablábamos serán decisivas para poder resolver, y es justamente lo que buscamos. En la revisión conjunta que se haga de los ejercicios el docente debe pedirle a los estudiantes que justifiquen sus respuestas cuando no ha sido posible responderlas usando las fichas. Esta es la etapa donde surgen las propiedades, y digo SURGEN (desde los estudiantes, desde sus cabecitas y experiencias) y no desde el profesor. 

Clases siguientes:  Sugiero proporcionar las fichas todas las clases que sean necesarias. Los estudiantes las irán dejando de lado a medida que las situaciones que les planteemos se lo exijan, no los forcemos a hacerlo arbitrariamente. Tiempo al tiempo, de independizarán muy pronto de ellas.