26 de noviembre de 2015

De expresión mixta a fracción (y viceversa)

Al trabajar con fracciones los estudiantes cometen muchos errores, que la mayoría de las veces tienen origen en la ausencia de sentido. La transformación de “número mixto” a fracción (o viceversa) es un ejemplo claro de ello. Démosle una mirada a la manera en que se presenta tradicionalmente esta noción en los libros de texto y otros materiales educativos:


Tú como profe se los explicas, ellos lo repiten y lo encuentran sencillísimo, pero ¿qué pasa luego de unos días?:

-  Profe, ¿qué es lo que hay que hacer primero, sumar o multiplicar? 
- Profe, ¿y qué le pongo al denominador? 
- ¿El resto de la división dónde va? ¿en el numerador o el denominador? 

Nosotros les respondemos pacientemente una y otra vez, y una y otra vez ellos volverán a preguntar… ¡¡Porque no entienden nada de lo que están haciendo!! Simplemente repiten pasos de un algoritmo prefabricado, carente de significado, imposible de reconstruir usando el sentido común.

¿Cómo enseñarlo entonces?



Redirigiendo esa paciencia infinita que tenemos hacia algo más provechoso. Partiendo desde el principio, desde la comprensión, dándoles su tiempo, dejándolos re-inventar los algoritmos… 

La cosa es que los estudiantes comprendan claramente lo que están haciendo, y para eso debemos partir de números pequeños, fácilmente representables. Les ponemos un "tres enteros y dos quintos”, analizamos su significado y nos preguntamos como se podría expresar eso en una sola fracción. Recordamos cómo expresar enteros como una fracción, vamos representando de uno en uno hasta llegar a los tres, luego le agregamos los dos quintos que lo acompañan y ¡Voilà! 3 enteros y 2 quintos es otra manera de expresar una misma cosa: 17 quintos.

El profesor de cursos superiores ya estará reclamando por la técnica un tanto lenta: "Y cuando sean 14 enteros y 3 décimos, ¿lo dejo la clase entera transformando entero por entero?” Pues claro que no. A esa altura, si es que hemos hecho bien las cosas, el estudiante ya habrá captado la técnica “corta”, pero sin que nadie se la haya dado prefabricada… 

Una posible secuencia:
1. Representar números mixtos y fracciones impropias (por separado) hasta el hartazgo: recta numérica, polígonos, círculos, objetos tridimensionales.

2. Realizar transformaciones de expresiones mixtas a fraccionarias (y viceversa) usando números fácilmente representables (como el de la imagen) entero por entero.

3. Ir aumentando el valor de los números poco a poco… 3 enteros, luego 4, 5, 7, 12, 17… 32. Les aseguro que en algún momento la flojera inherente al alumno (y al ser humano en general) emergerá: 

- Profe, ¿cómo voy a escribir toooooodo eso? ¡es demasiado! 
- (y aquí es cuando el profe dirá, maléficamente): ¿Y si no lo escribes, entonces cómo lo harás? 

Y ¡¡Voilà otra vez!! Usted sonreirá internamente, lleno de satisfacción, cuando se dé cuenta de que el alumno ya DESCUBRIÓ la técnica corta: ¡¡obvio que multiplicando, po!! 


Le ASEGURO que de esta forma el estudiante nunca olvidará “los pasos”. 
Simplemente porque él mismo los inventó.

*(Por cierto, lo mixto no es el número sino la expresión).


2 comentarios:

Peter Hammill dijo...

Será porque la ignorancia es muy osada, pero he de confesar que no me gusta el constructivismo. Lo encuentro prolijo, tedioso, cansino. Como una cafetería en la que no se limitaran a servirte el café y te dieran un molinillo para que tú mismo lo molieras y te lo hicieras, mientras el camarero te ilustra sobre las características del tipo de café que has escogido. Puede que un negocio como este tuviera su clientela (más bien ocasional), pero creo que tendríamos un serio problema si todas las cafeterías fueran así. Cuando examino los libros de texto de mis hijos me pregunto ¿Trabaja así el cerebro humano? ¿Habrá edades en las que el constructivismo sea menos adecuado que en otras? ¿Puede estar indicado para unas ciencias o disciplinas y para otras no? ¿Podría ser muy poco adecuado para las clases desfavorecidas? ¿No se habrá aplicado de un modo indiscriminado y algo talibán? ¿Hay unanimidad en la comunidad científica sobre sus virtudes? Otra cosa que me llena de inquietud es como se repiten los contenidos curso tras curso, lo que me induce a pensar que quizás nos estamos perdiendo en el "como", olvidándonos del "que" y que ha acabado convirtiéndose más en un fin que en un medio. Con el método conductista te aprendías todos los secretos de los números romanos en una clase o dos y ahora observo perplejo que años tras año, curso tras curso, se siguen incluyendo en el temario. Y así con las fracciones, con la propiedad distributiva... A mí se me pone cara de Bill Murray en "Atrapado en el tiempo" cuando leo esos dichosos libros de texto constructivistas.

Ange Zamarín dijo...

No creo para nada que hables  desde una osada ignorancia, sino todo lo contrario: planteas preguntas esenciales que lamentablemente el exceso de entusiasmo muchas veces omite de la reflexión. 
No he tenido la suerte de toparme con esos libros de texto constructivistas de los que hablas, porque acá en Chile a pesar de que el constructivismo se declara como intención en el currículum, aún no ha logrado llegar a los textos (aunque sí a la formación del profesorado, cosa curiosa). 
Con lo que sí me he topado muchas veces es con interpretaciones un tanto erráticas de la teoría, con secuencias didácticas "bonitas", "participativas", pero poco efectivas en cuanto aprendizaje se refiere. Me he topado también (¡y mucho!) con posturas absolutas que creo que no hacen bien. 
Das en el clavo con tus preguntas... Y por supuesto que no tengo respuestas, pero comparto la inquietud. No sé si el constructivismo será LA manera de hacer las cosas, creo que depende de los objetivos que nos planteemos. Si quiero que los estudiantes automaticen estrategias o memoricen datos, por ejemplo, me parece que el conductismo da más posibilidades de éxito. Si quiero que los estudiantes aprendan a matematizar su entorno (es decir, a crear modelos que puedan dar respuesta a determinadas situaciones problemáticas) entonces creo que el constructivismo lleva ventaja. Y la matemática escolar necesita de las dos cosas: matematización (primero), mecanización (después). 
La metáfora de la cafetería me parece que simplifica demasiado las cosas, pero podría decirte que igual dependerá de lo que busques ese día, del objetivo que tengas. 
En lo que sí creo tener respuesta es en la pregunta que planteas acerca de la pertinencia (o no) del constructivismo en las clases desfavorecidas. Y es que los alumnos de allá y de acá tienen las mismas condiciones intelectuales, y la elección de la teoría de aprendizaje desde la que te sitúes dependerá, también, de los objetivos que te hayas planteado para ellos (lo lamentable es que creo que muchas veces tenemos objetivos distintos para los de allá y para los de acá, cuestión que tiene más que ver con decisiones políticas que pedagógicas). 
Es cierto, hay cosas que asimilamos más rápido en nuestros tiempos de escuela, cuando el profesor la explicaba, tú la repetías y punto. Pero a mí me pasó que mucho de eso que automaticé antes de comprender no me sirvió más que para sobrevivir a la escuela... Y las necesidades han cambiado, por tanto también han cambiado los objetivos: hoy la modelización es el centro de la actividad matemática y eso sí que no lo aprendes de otra manera que haciéndolo, re-inventándolo... 

Gracias infinitas por tu comentario. Comparto mucho de lo que dices y discrepo también en bastante. Lo que agradezco es ese tipo de preguntas "piedra en el zapato" que hacen siempre muy muy bien a la reflexión.