20 de marzo de 2016

Lo que entienden nuestros estudiantes por "problema" en la clase de matemática


 Cada vez que tomo un nuevo grupo en 7º básico tenemos dificultades para ponernos de acuerdo en lo que es (y lo que no es) un problema matemático. Los chicos llegan con una idea muy rígida y acabada acerca de lo que es un “problema" , cuál es su estructura, cuáles son los “pasos” para abordarlo y los tipos de respuesta “permitidos". Algunas de esas ideas se las han enseñado directamente y otras las han ido aprendiendo solos a partir de la observación y la repetición. Mal que mal, son 6 años (o más) de problemas tipo “Juanito le dio a Pepito…”, propuestos para ser resueltos bajo esquemas lineales tan rígidos como: 1) Leer y entender el enunciado, 2) subrayar los datos y la pregunta, 3) escoger la operación, 4) resolver y 5) responder con "respuesta completa”…
¿Les suena, verdad?

 Lo que entienden nuestros estudiantes por “problema” es, entonces, un tipo muy acotado de situación que existe sólo en la clase de matemática y cuya solución depende de una de las 4 operaciones elementales… “Si sale la palabras más, juntar, poner, regalar… entonces es suma” , “Con las palabras quitar, gastar, faltar, perder… es resta”, “Si aparece la palabra veces es multiplicación” y finalmente (esta me la contó una colega y me encanta): “Si el problema está muy difícil seguro que es de división”.

 ¿De dónde sacan todas esas ideas? A veces de la enseñanza directa de algún profesor, otras (la mayoría) de sus propias cabezas. Son estrategias que han aprendido a punta de ensayo y error, y también de observaciones y análisis muy astutos sobre lo que cambia y lo que se mantiene en los enunciados de los problemas que aparecen en clases.

 Pérez, Zolkower y Bressan, del GPDM ilustran el alcance de esta concepción escolar del problema matemático en un artículo que recomiendo muchísimo: ¿Seño, es cierto eso?. En él cuentan la anécdota de Latesha, una niña de tercer grado de una escuela pública de Nueva York, que debía resolver un problema típico: “En la esquina de mi casa acaban de inaugurar un nuevo cine que tiene 15 filas con 12 asientos en cada fila, ¿Cuántas personas cabrán sentadas en este cine? Inmediatamente después de leer el problema, Latesha escribe: 15 + 12 = 27.
La investigadora, sorprendida, le pregunta: ¿Puede ser que un cine tenga solamente 27 asientos? y Latesha entre avergonzada y divertida ante su propio disparate, exclama: ¡Oh, se trata de un cine de verdad! Yo pensé que era solamente un problema. ¡Ya sé cómo hacerlo! y, acto seguido, lo resuelve correctamente mediante un esquema.

¿Cómo cambiar esa visión?

  • Ante todo con mucha paciencia, porque desaprender es una actividad incluso más compleja que aprender desde cero. 
  • Planteando verdaderos DESAFÍOS
  • Confiando en que serán capaces de resolverlos. 
  • Conectando la matemática con la realidad, haciéndola útil, NECESARIA. 
  • Comprendiendo que menos es más: mejor 1 buen problema por clase que 10 ejercicios de cálculo disfrazados de problemas contextuales.
Es necesario tender un puente entre la realidad y la matemática. Proponer experiencias que vayan poco a poco disponiendo a los estudiantes al desafío, a la idea de que nadie sabe de antemano resolver un problema, porque un problema es justamente una situación que no sabemos cómo resolver... Es necesario devolverles la confianza: hacerlos sentir desafiados y a la vez capaces. 

Una propuesta de trabajo 


Este año, inspirada en una charla TED de Tom Wujec acerca del trabajo en equipo, decidí que el primer problema que mis estudiantes resolverían no sería un problema matemático, sino un problema a secas. La decisión fue correcta. La matemática genera tensión, miedo a equivocarse, bloqueos mentales de todo tipo (sobre todo cuando te enfrentas a gente que no conoces). Este año, a diferencia de años anteriores, los estudiantes se tomaron el desafío con entusiasmo, con nervios, pero sin el miedo a no tener los "conocimientos necesarios" para abordarlo... Y a partir de ese primer problema no-matemático fuimos poco a poco acercándonos a problemas sí-matemáticos.

1. La torre de espaguetis 
  • Partimos la clase preguntándole a los estudiantes: ¿qué es un "problema matemático" y cómo se resuelven? y escribimos en la pizarra todas las ideas que vayan saliendo (si les va como a mí, entonces van a llenar la pizarra de todos los malentendidos que les comenté al principio de este post). 
  • Luego de que tenemos nuestra pizarra llena de ideas sobre lo que es un problema y cuáles son las mejores estrategias para abordarlos, les planteamos un desafío que deben resolver de manera grupal en un tiempo de, qué se yo... 35 minutos: 
 A cada grupo se le entrega un puñado de espaguetis, cinta adhesiva, hilo y un bombón o malvavisco.Usando únicamente esos materiales deberán construir una torre (la más alta posible) que resista en su cúspide el peso del bombón sin desarmarse.  



2. Puesta en común y contraste de ideas
  • Los grupos muestran al curso sus torres y explican brevemente cuál fue el proceso de elaboración, qué dificultades tuvieron, de qué manera las enfrentaron, cómo se organizaron, etc. La idea es ir fijándose en qué estrategias fueron las exitosas y cuáles no... 
  • El docente pregunta a los estudiantes: ¿les parece que esto puede considerarse un problema? ¿Cuáles son las características que hicieron que esta situación fuera “problemática”? ¿sabían cómo resolverla desde el principio? ¿les impidió eso resolverla finalmente? ¿cómo lo hicieron? Se van anotando las ideas en la pizarra, a un lado de lo que había sido anotado al inicio. Rescatar características tales como: 
Un problema es una situación que no sabemos cómo resolver inmediatamente (si lo supiéramos, no sería un problema). 
Para resolverlo hay que intentar diferentes estrategias. 
Para resolverlo hay que ir evaluando si lo que hacemos es razonable, si sirve o no sirve.  
Si la estrategia falla, se intenta con otra hasta lograrlo. 
  • El docente llama la atención sobre lo que habían escrito al inicio en la pizarra: qué era un problema y cómo, según ellos, podía resolverse. Les pregunta: ¿les parece realmente que eso que anotamos al principio sea un “problema”? ¿cumple con las características que señalamos ahora? 
  • El docente explica que en este curso consideraremos “problema” a lo que cumpla con las características de la segunda columna y que, por ende, deberemos enfrentarlos con las mismas estrategias: actitud propositiva, flexibilidad y evaluación constante de las estrategias empleadas.
La idea es que a partir de esta primera aproximación vayamos planteando situaciones cada vez más cercanas a la matemática, pero muy gradualmente. Queremos evitar el bloqueo, propiciar el pensamiento, generar autoconfianza. En la próxima entrada plantearé propuestas de problemas matemáticos para ir construyendo ese puente del que hablamos...


9 de enero de 2016

Aprender álgebra jugando

Hace algún tiempo encontré en la red un juego llamado “Pista de álgebra” (o algo así), cuyo principal objetivo es ejercitar la evaluación o valoración de expresiones algebraicas. Se trata de lanzar un dado, sustituir una expresión algebraica por el valor obtenido y avanzar o retroceder por la pista según el valor de la expresión. Ganar o perder depende fundamentalmente del azar (y no de un conocimiento matemático), pero la gracia es que se practica la valoración de expresiones algebraicas en un contexto muchísimo menos tedioso que un largo listado de ejercicios del libro de texto.



El juego me pareció interesante de por sí, pero se me ocurrió hacerle algunas modificaciones con las que se le puede sacar más partido. Con mis estudiantes lo jugamos de la siguiente manera:

  • En vez de jugar con un dado, jugamos con dos: un dado blanco que representa números positivos y un dado rojo que representa números negativos. 
  • En su turno cada jugador debe decidir si va a usar el dado blanco o el dado rojo según le convenga, dada la expresión algebraica en la que se encuentra situado. 
  • Gana quien primero llega a la meta (sin pasarse de largo). 

¿Por qué es distinto jugarlo así?

Decía antes que el original es fundamentalmente un juego de azar: no puedes hacer nada intencionado para avanzar sobre el tablero. En la versión modificada, en cambio, no da lo mismo elegir el dado rojo que el dado blanco, y en saber escoger está la ciencia del juego. Para tomar la decisión es necesario anticiparse a los posibles resultados, es decir, analizar las relaciones que se establecen entre la variable y los números y operaciones que la acompañan.

En las primeras jugadas los estudiantes no notan esto y eligen casi siempre el dado blanco, porque presuponen que al elegir números positivos tienen asegurado el avance por el tablero. No obstante, al poco andar se van dando cuenta que esto no siempre resulta así. Se desconciertan, se preguntan por qué, analizan, anticipan, van generando estrategias que se adaptan a los resultados que van obteniendo con respecto a su posiciónen el tablero.

¿Cuándo, cómo y cuánto jugar?

El juego así con sus modificaciones y todo está pensado para un séptimo, más que nada porque en ese curso ya entraron al conjunto de los números enteros. Sugiero jugarlo después de haberse introducido a la evaluación de expresiones algebraicas en contextos reales, aunque no tan después, porque en el juego mismo se van construyendo conocimientos ligados al tema, con una clase antes basta. Mis estudiantes lo jugaron durante 2 clases de esta manera:

  • El primer día juegan en grupos de máximo 4 estudiantes, con los dos dados (positivo y negativo)
  • El segundo día se hace un torneo por equipos. El curso se divide en 3 grupos y el docente escoge a 1 representante de cada equipo que deberá pasar a jugar adelante (acá ojalá se consigan unos dados grandes de espuma para tirar por la sala y proyecten el tablero en la pizarra). Durante cada jugada los representantes deben decidir solos qué hacer (mientras su equipo sufre en silencio las malas decisiones). A cada par de jugadas se les permite a los equipos reunirse para dar instrucciones al representante. 

Esta última parte de la secuencia es muy importante. Para poder instruir a su representante los estudiantes comenzarán a formular informalmente propiedades que luego el docente institucionalizará con nombre y apellido. Pero lo importante es que saldrán de ellos y serán beneficiados tanto quienes las enuncian (equipo espectador) como quien la recibe (representante). El docente atento ya habrá pensado que los representantes deben ser estudiantes que aun no han elaborado estrategias propias, por lo que necesitarán el apoyo de sus compañeros.

Les dejo en el link una versión del tablero para imprimir en blanco y negro (no sé ustedes, pero en mi colegio no es que tengamos demasiados recursos. De todas maneras los estudiantes la pasan estupendo jugando): Tablero para imprimir

8 de diciembre de 2015

Por qué la flipped classroom me parece incompatible con lo que sabemos acerca del aprendizaje de la matemática

Estoy segura de que la flipped classroom o "clase invertida" nace y se desarrolla desde un genuino interés por la mejora educativa. El problema es el exceso de entusiasmo, la generalización rápida de implementaciones exitosas, la simplificación de los factores que intervienen en dichas experiencias, la transferencia instantánea de las condiciones de aprendizaje de una disciplina a otra de diferente naturaleza. 
No aprendemos de la misma forma el lenguaje, las ciencias naturales, las ciencias sociales, el arte, la matemática. Cada disciplina tiene maneras distintas de construir y validar el conocimiento, cada disciplina tiene un marco de referencia, una manera de entender y procesar la información que le llega desde el mundo. ¿Cómo va a ser entonces que un modelo de clase general pueda a acoplarse tan bien a tanta diferencia? Cuidado, cautela, reflexión.

Si nos situamos desde una perspectiva didáctica (y no simplemente pedagógica), la idea de estudiar individualmente el contenido teórico fuera del aula para luego realizar actividades grupales de aplicación práctica dentro de ella, no es del todo beneficiosa para el aprendizaje de la matemática. Por supuesto que quisiera que la mayor parte del tiempo de aula nuestros alumnos lo pasen haciendo matemática (y no escuchando al profesor recitarla), pero tampoco me parece una innovación trasladar la exposición de contenidos a otro escenario (el videotutorial) para "aprovechar mejor" el tiempo de aula en otras cosas, como la aplicación o discusión de los temas. No me parece una innovación sencillamente porque es una forma distinta de seguir exactamente el mismo esquema de siempre (exposición-ejercitación-aplicación) que la investigación (y los malos resultados de aprendizaje en la asignatura) hace tiempo han demostrado ineficaz.

La matemática se aprende haciendo matemática y eso significa que el tiempo de aula debe usarse fundamentalmente en eso: en construirla, en reinventarla. Partir una secuencia didáctica con la definición de nociones o la enseñanza directa de herramientas es matar la posibilidad de que el alumno aprenda a matematizar su entorno, por muy audiovisual que sea el canal de transmisión que hayamos escogido para ello. Por otra parte, si nos situamos desde una perspectiva constructivista del aprendizaje ( que es desde donde escribo este post), resulta contradictorio dejar al estudiante solo en la parte más crítica del aprendizaje: la construcción de sentido, ese momento en el que debería surgir la necesidad de una herramienta matemática que dé solución a un problema real, ese momento en el que deberían nacer preguntas (no respuestas), ese momento en el que deberían surgir modelos y  conceptualizaciones colectivas. 

La construcción del conocimiento matemático al que aspiramos sí que necesita "invertir" la clase, pero en un sentido distinto al de la flipped classroom. Necesitamos dar vuelta la secuencia clásica de enseñanza (que parte en las definiciones y termina en la resolución de problemas), por una que se inicie en la resolución de problemas y termine en las definiciones. 

En qué parte de esa secuencia usamos los videos u otras TICs y TACs ya será un asunto metodológico,  que puede variar según el estilo de cada docente y las características de sus estudiantes. Lo que no puede variar, lo que no se puede obviar, es el conocimiento que hemos acumulado acerca de cómo aprenden las personas, como construye el ser humano un determinado tipo de saber. 

4 de diciembre de 2015

Juego para introducir el plano cartesiano

Si nos situamos desde una mirada de la matemática como actividad, no vale enseñar herramientas matemáticas que el estudiante no ha tenido la oportunidad de necesitar. De acuerdo a esto, la principal labor del docente es crear y gestionar situaciones problemáticas que activen el impulso matematizador.

En la web se pueden encontrar muchos y muy entretenidos juegos para aprender a usar el plano cartesiano (como el “Combate Naval” o “Descubre el dibujo”), pero no están pensados para construir la necesidad de su uso, sino para aprender y practicar la codificación y decodificación de coordenadas.


¿Cómo hacer que los estudiantes "necesiten" un plano cartesiano?:
El juego del punto 


Este juego me parece un inicio ideal para el tema del plano cartesiano, allá por 4º o 5º básico.
Se trata de un juego de comunicación para equipos de 2 personas en el que hay un “Instructor” y un “dibujante”.

  • El instructor recibe una hoja cuyo único dibujo es un punto, situado en un lugar que el dibujante no conoce. El dibujante tiene una hoja en blanco del mismo tamaño que la del instructor
  • El juego consiste en que el instructor envíe por escrito todas las instrucciones que estime necesarias para que el dibujante pueda ubicar en su hoja un punto exactamente en el mismo lugar que él (nosotros usamos whatsapp con la condición de que no se pueden enviar fotos, pero pueden ser cartitas de papel también) 
  • Una vez que el dibujante ha ubicado el punto según las instrucciones dadas, se reúne con el instructor para comparar sus hojas. 
  • Gana el equipo cuyos puntos coinciden en la ubicación (o bien el equipo que estuvo más cerca de hacerlo) 
  • Los compañeros que ganan deberán mostrar las instrucciones que le permitieron al dibujante ubicar el punto de manera tan exacta. 

¿Qué pasa durante el juego?
Pasa que las primeras partidas tienen unos resultados desastrosos que nos hacen reír a carcajadas todos. Nadie acierta porque han dado las instrucciones demasiado a la ligera, creyendo que decir “arriba a la derecha” es suficiente. 

Entonces vienen otras partidas y las instrucciones se van haciendo cada vez más específicas: “Divide la hoja en cuatro. El rectángulo de arriba a la derecha divídelo en cuatro también”… “Dobla la hoja por la mitad y después otra vez 3 veces más. Avanza 2 cuadritos a la derecha y después baja 3, dibuja el punto en la esquina izquierda”


¿A qué les suena eso, profes?
La entrada ideal al plano cartesiano...



2 de diciembre de 2015

¿Cómo construir el algoritmo de multiplicación de fracciones?


Multiplicar fracciones, algorítmicamente hablando, suele ser sencillo. Normalmente los estudiantes escuchan la regla que nosotros les enunciamos y la reducen a un escueto: “Hay que multiplicar pa’l lado” y todos felices.
Pero…¿cómo hacer para que ellos mismos sean los que descubran la regla? ¿Cómo hacer para que la regla surja a partir de la construcción de sentido, y no de una instrucción?
Formas hay muchas. Presentaremos una: el uso de superficies rectangulares.


Cuando los niños recién están aprendiendo a multiplicar, una de las representaciones usuales a las que echamos mano es al "arreglo bidimensional" o “matriz”. 3 X 2 puede representarse con 3 filas de 2 elementos cada una o, si la disponemos de otra forma, con 2 filas de 3. A partir de esta representación trabajamos propiedades como la conmutatividad o, más adelante, la distributividad de la multiplicación sobre la suma. Este mismo principio nos servirá para ilustrar la multiplicación de fracciones, sólo que la representación en vez de ser discreta (con elementos “sueltos”) será contínua puesto que se fraccionará una sola unidad:




Supongamos que queremos representar la multiplicación 2/3 x 3/4 mediante una superficie rectangular. Esto quiere decir que uno de los lados de nuestro rectángulo deberá medir 2/3 y el otro 3/4.

A.   Para poder determinar lo que es 2/3 y 3/4 necesitamos establecer una medida “unidad”, que sea la misma para el lado vertical y para el lado horizontal. Partimos, entonces, de un cuadrado de 1x1.

B.   Una vez que hemos establecido la unidad, marcamos dos tercios de ella en uno de los lados y tres cuartos en el otro.

C.   Para saber cuál es el producto de los dos factores trazamos las lineas verticales y horizontales que formarán el arreglo bidimensional y remarcamos el rectángulo formado, dándonos cuenta entonces que el producto corresponde a ¡6 doceavos!



Una posible secuencia

- Dar a los estudiantes cuadrados de papel que representen la unidad, y pedirles que a partir de ellos determinen el producto de fracciones como 2/5 x 1/2, 3/4 x 1/3, 1/4 x 2/5, etc.

- Si nuestro objetivo es que construyan el algoritmo de multiplicación, tenemos que lograr que surja la “necesidad” de hacer las cosas de una manera más sencilla. ¿Cómo?: pidiéndoles calcular el producto de fracciones que vayan siendo progresivamente cada vez más difíciles de representar en la unidad dada, como por ejemplo 7/12 x 4/5, 8/17 x 1/9, 23/25 x 20/32, etc. Como siempre la “flojera” (¡¡nuestra arma matemática fundamental!!) hará que el alumno se plantee otra forma de hacer las cosas, y tarde o temprano se dará cuenta de que basta multiplicar numeradores con numeradores y denominadores con denominadores.

- Una vez que el algoritmo ya ha sido descubierto (o re-inventado como dirían en la EMR), entonces ya podemos dar paso a las multiplicaciones de fracciones impropias o números mixtos.

26 de noviembre de 2015

De expresión mixta a fracción (y viceversa)

Al trabajar con fracciones los estudiantes cometen muchos errores, que la mayoría de las veces tienen origen en la ausencia de sentido. La transformación de “número mixto” a fracción (o viceversa) es un ejemplo claro de ello. Démosle una mirada a la manera en que se presenta tradicionalmente esta noción en los libros de texto y otros materiales educativos:


Tú como profe se los explicas, ellos lo repiten y lo encuentran sencillísimo, pero ¿qué pasa luego de unos días?:

-  Profe, ¿qué es lo que hay que hacer primero, sumar o multiplicar? 
- Profe, ¿y qué le pongo al denominador? 
- ¿El resto de la división dónde va? ¿en el numerador o el denominador? 

Nosotros les respondemos pacientemente una y otra vez, y una y otra vez ellos volverán a preguntar… ¡¡Porque no entienden nada de lo que están haciendo!! Simplemente repiten pasos de un algoritmo prefabricado, carente de significado, imposible de reconstruir usando el sentido común.

¿Cómo enseñarlo entonces?



Redirigiendo esa paciencia infinita que tenemos hacia algo más provechoso. Partiendo desde el principio, desde la comprensión, dándoles su tiempo, dejándolos re-inventar los algoritmos… 

La cosa es que los estudiantes comprendan claramente lo que están haciendo, y para eso debemos partir de números pequeños, fácilmente representables. Les ponemos un "tres enteros y dos quintos”, analizamos su significado y nos preguntamos como se podría expresar eso en una sola fracción. Recordamos cómo expresar enteros como una fracción, vamos representando de uno en uno hasta llegar a los tres, luego le agregamos los dos quintos que lo acompañan y ¡Voilà! 3 enteros y 2 quintos es otra manera de expresar una misma cosa: 17 quintos.

El profesor de cursos superiores ya estará reclamando por la técnica un tanto lenta: "Y cuando sean 14 enteros y 3 décimos, ¿lo dejo la clase entera transformando entero por entero?” Pues claro que no. A esa altura, si es que hemos hecho bien las cosas, el estudiante ya habrá captado la técnica “corta”, pero sin que nadie se la haya dado prefabricada… 

Una posible secuencia:
1. Representar números mixtos y fracciones impropias (por separado) hasta el hartazgo: recta numérica, polígonos, círculos, objetos tridimensionales.

2. Realizar transformaciones de expresiones mixtas a fraccionarias (y viceversa) usando números fácilmente representables (como el de la imagen) entero por entero.

3. Ir aumentando el valor de los números poco a poco… 3 enteros, luego 4, 5, 7, 12, 17… 32. Les aseguro que en algún momento la flojera inherente al alumno (y al ser humano en general) emergerá: 

- Profe, ¿cómo voy a escribir toooooodo eso? ¡es demasiado! 
- (y aquí es cuando el profe dirá, maléficamente): ¿Y si no lo escribes, entonces cómo lo harás? 

Y ¡¡Voilà otra vez!! Usted sonreirá internamente, lleno de satisfacción, cuando se dé cuenta de que el alumno ya DESCUBRIÓ la técnica corta: ¡¡obvio que multiplicando, po!! 


Le ASEGURO que de esta forma el estudiante nunca olvidará “los pasos”. 
Simplemente porque él mismo los inventó.

*(Por cierto, lo mixto no es el número sino la expresión).